Vừa qua, tạp chí Quantamagazine đã đăng bài của tác giả Shalma Wegsman thông báo rằng giả thuyết sắp xếp lại do Ronald Graham đưa ra vào năm 1971 đã được hoàn tất chứng minh qua công trình của 2 nhà toán học trẻ Lisa Sauermann và Phạm Tuấn Huy. Như vậy, sau hơn nửa thế kỉ chưa có lời giải trọn vẹn, một bài toán tổ hợp được cho là có thể bắt nguồn từ niềm say mê tung hứng của nhà toán học Ronald Graham cuối cùng đã được giải quyết.
Giải bài toán kéo dài gần nửa thế kỷ
Cố giáo sư Ronald Graham từng đảm nhận hai vai trò song song. Ông là một nhà toán học lừng danh, từng là chủ tịch Hội Toán học Hoa Kỳ (American Mathematical Society). Đồng thời, ông cũng là một nghệ sĩ tung hứng chuyên nghiệp và từng giữ chức chủ tịch Hiệp hội Tung hứng Quốc tế (International Jugglers' Association).
Năm 1971, ông đã đặt ra một câu hỏi mà một số nhà toán học ngày nay tin rằng cũng xuất phát từ niềm cảm hứng tung hứng. Giả sử bạn bắt đầu với một tập hợp ngẫu nhiên gồm các số nguyên phân biệt (không bao gồm số 0). Liệu bạn có luôn luôn có thể sắp xếp lại thứ tự của chúng sao cho khi cộng hai số đầu tiên, rồi ba số đầu tiên, rồi bốn số đầu tiên…, mọi “tổng riêng” (partial sum) thu được đều khác nhau?
Theo ngôn ngữ của tung hứng, điều này có nghĩa là nếu mỗi quả bóng lơ lửng trên không trong một khoảng thời gian khác nhau, bạn luôn có thể tìm ra một thứ tự tung sao cho không có hai quả bóng nào rơi xuống cùng một nhịp, điều sẽ làm hỏng toàn bộ màn biểu diễn.
Nếu tất cả các số đều là số dương, câu trả lời cho câu hỏi của Graham rõ ràng là có: các tổng sẽ luôn lớn dần khi bạn cộng thêm nhiều số hơn. Tương tự, nếu tập hợp gồm cả số dương và số âm, câu trả lời cũng đã được chứng minh là có.
Tuy nhiên, điều gì sẽ xảy ra nếu các số sống trong một thế giới hữu hạn, chẳng hạn như các số quấn quanh mặt đồng hồ và lặp lại sau một số đếm nhất định? Đây là điều Graham muốn biết. Theo giả thuyết của ông, câu trả lời vẫn là có.
GS Ronald Graham cho rằng ngay cả khi phải đối mặt với những ràng buộc khắt khe, người ta vẫn thường có thể tìm đủ sự linh hoạt để xây dựng các mẫu hình hoặc cấu trúc đặc biệt, tương tự như việc ta luôn có thể tìm ra một bảng Sudoku hay ma trận Latinh (Latin square) hợp lệ bất chấp hàng loạt quy tắc gắt gao của chúng.
Noga Alon, nhà toán học tại Đại học Princeton, nhận xét, bài toán này khớp một cách hoàn hảo với tất cả những câu hỏi về thiết kế cấu trúc và các cấu trúc có tính đối xứng cao. Tuy nhiên, không ai có thể chứng minh được linh cảm của Graham là đúng trong suốt nhiều thập kỷ.
Đã từng có ba nhà toán học ở Đại học Oxford là Alp Müyesser, Noah Kravitz và Benjamin Bedert cùng một số cộng sự, đã công bố ba công trình để giải quyết bài toán, tuy nhiên chưa đầy đủ.
Từ tháng 9 năm ngoái, sau một hội thảo ở Đức, Phạm Tuấn Huy và Sauermann bắt đầu có hứng thú với bài toán này. Vài tháng sau thời gian làm việc cùng nhau tại Đức, Sauermann và Tuấn Huy đã đăng bài chứng minh dài 27 trang của họ lên mạng. Họ không chỉ chứng minh rằng một thứ tự sắp xếp lại thỏa mãn luôn luôn tồn tại, mà còn chỉ ra rằng một thứ tự ngẫu nhiên có thể được điều chỉnh để loại bỏ các biến cố xấu trong ít nhất 90% trường hợp, một tỷ lệ thành công vượt trội.
Các nhà toán học từng nghiên cứu bài toán trước đó đã rất kinh ngạc khi thấy trường hợp còn lại được giải quyết nhanh chóng đến vậy. Müyesser nhận xét: “Cách tiếp cận của họ hoàn toàn khác biệt”.
Từng là thủ khoa, 2 lần giành Huy chương Vàng Olympic quốc tế
Phạm Tuấn Huy sinh năm 1996, hiện làm việc tại Đại học Chicago, ngôi trường được THE xếp hạng top 16 thế giới. Anh là cựu học sinh của Trường Phổ thông Năng khiếu, Đại học Quốc gia TP HCM.
Phạm Tuấn Huy từng hai lần giành huy chương vàng Olympic Toán quốc tế (IMO), vào các năm 2013 và 2014. Anh sau đó lấy bằng cử nhân Toán học và thạc sĩ Thống kê tại Đại học Stanford, tiếp tục nhận bằng thạc sĩ nghiên cứu cao cấp về Toán tại Đại học Cambridge.
Năm 2023, khi đang là nghiên cứu sinh tiến sĩ tại Stanford, Phạm Tuấn Huy nhận học bổng sau tiến sĩ dành cho các nhà toán học triển vọng của Viện Toán học Clay, một trong những tổ chức danh giá trong lĩnh vực toán học.
Tại Mỹ, hệ thống chức danh giáo sư gồm ba bậc, từ thấp đến cao là Assistant professor, Associate professor và Full professor. Thông thường, giảng viên cần 10-20 năm để tiến tới bậc cao nhất. Tuy nhiên, theo website của Caltech, Phạm Tuấn Huy đã được bổ nhiệm Assistant professor tại trường vào năm 2025, sau hai năm làm giảng viên thỉnh giảng.
Trong số các nhà toán học người Việt đang làm việc tại Mỹ, Huy có lẽ là một trong những trường hợp hiếm hoi trở thành “Full professor”, tức giáo sư biên chế ở bậc cao nhất, khi mới 30 tuổi.
Lisa Sauermann cũng là một gương mặt nổi bật tại Olympic Toán quốc tế (IMO) với 4 huy chương vàng. Năm nay 34 tuổi, cô hiện là giáo sư tại Viện Toán ứng dụng, Đại học Bonn (Đức).
Lisa Sauermann và Phạm Tuấn Huy là những người bạn lâu năm. Hai nhà toán học gặp nhau lần đầu vào năm 2015 tại Đại học Stanford, khi Sauermann đang là nghiên cứu sinh tiến sĩ, còn Tuấn Huy là sinh viên đại học.
Tại hội thảo tại Đức, sau khi nghe hai bài trình bày về giả thuyết của Graham từ các nhà toán học đã nỗ lực nhưng thất bại trong việc lấp đầy khoảng trống đó, họ cảm thấy vô cùng hứng thú.
Tuấn Huy đã theo Sauermann về Bonn trong một chuyến thăm ngắn 3 ngày. Đến cuối chuyến thăm, Sauermann và Tuấn Huy đã có kế hoạch về cách giải quyết bài toán.
