Mới đây, ông Vahab Mirrokni - Phó Chủ tịch Google Research và người lãnh đạo các nhóm nghiên cứu về Thuật toán và Tối ưu hóa tại Google - vừa công bố chứng minh của nhóm Google cho giả thuyết Courtade - Kumar (CK), đồng thời ghi nhận và chúc mừng lời giải độc lập của nhóm nghiên cứu đến từ Việt Nam: Tiến sĩ Vũ Khắc Kỷ (Trường Đại học FPT) và Giáo sư Trần Mạnh Tuấn (Đại học Khoa học và Công nghệ Trung Quốc).
Tiến sĩ Vũ Khắc Kỷ là Giảng viên Bộ môn Toán, Trường Đại học FPT
Trong bài viết công bố kết quả, Mirrokni gọi Courtade–Kumar là một “bài toán mở trung tâm tồn tại lâu năm ở giao điểm giữa lý thuyết thông tin và giải tích hàm Boolean”. Ông cũng nhắc lại rằng trong chuyên khảo của Yu và Tan, giả thuyết này được mô tả là “một trong những bài toán mở quan trọng nhất của lý thuyết thông tin”.
Theo Mirrokni, ý nghĩa của CK không chỉ nằm ở bài toán cực đại hóa thông tin tương hỗ. Giả thuyết còn gắn với một họ rộng các bài toán cực trị, các bất đẳng thức hàm và bất đẳng thức đẳng chu trên không gian Boolean, trong đó có những liên hệ với các bất đẳng thức của Talagrand, Bobkov và ở một số chế độ, với bất đẳng thức đẳng chu theo cạnh cổ điển của Harper.
Điều đặc biệt là gần như cùng thời điểm, hai nhóm nghiên cứu hoàn toàn độc lập đã đi đến lời giải bằng hai con đường rất khác nhau.
Hai nhóm nghiên cứu từ Việt Nam và Google cùng đi tới kết quả
Giả thuyết Courtade–Kumar (hay Most Informative Boolean Function Conjecture) được Thomas Courtade và Gowtham Kumar đề xuất năm 2013. Bài toán xuất phát từ một câu hỏi rất tự nhiên trong truyền tin và xử lý thông tin: khi dữ liệu bị nhiễu trên đường truyền, ta nên chọn và xử lý thông tin ban đầu theo cách nào để sau cùng vẫn giữ lại được nhiều thông tin nhất?
Điều bất ngờ là giả thuyết Courtade–Kumar cho rằng chiến lược tối ưu lại cực kỳ đơn giản: thay vì kết hợp nhiều bit theo một quy tắc phức tạp, chỉ cần giữ lại một bit duy nhất. Phát biểu rất trực quan như vậy nhưng trong hơn một thập kỷ các nhà khoa học khắp nơi trên thế giới mới chỉ giải được từng trường hợp riêng.
Khoảng 10 năm trước, khi làm nghiên cứu sau tiến sĩ trong nhóm Information Theory tại Chinese University of Hong Kong (CUHK), TS. Vũ Khắc Kỷ đã được Giáo sư Chandra Nair kể cho về giả thuyết này. TS. Kỷ đã theo đuổi nó khá nghiêm túc trong khoảng hai năm nhưng không thành công. Từ tháng 1/2019, sau khi về Trường Đại học FPT (FPTU) giảng dạy, ông vẫn thỉnh thoảng quay lại bài toán nhưng mỗi lần làm một thời gian rồi lại phải dừng vì chưa tìm được một cơ chế đủ mạnh để vượt qua các rào cản đã biết.
Đến năm 2025, TS. Kỷ bắt đầu quay lại bài toán một cách nghiêm túc hơn, khi nghiên cứu về hình học thông tin và tìm cách sử dụng các công cụ hình học để tiếp cận một số câu hỏi trong học máy. Ông nhận thấy giả thuyết Courtade-Kumar cũng có nhiều cấu trúc liên quan rất tự nhiên đến entropy, mutual information và sự biến đổi của thông tin dưới tác động của nhiễu nên quyết định thử lại bài toán từ góc nhìn này.
Cũng trong giai đoạn đó, ông bắt đầu hợp tác với GS. Tuấn Trần, hiện là Giáo sư được bổ nhiệm đặc biệt tại University of Science and Technology of China, một chuyên gia hàng đầu thế giới về xác suất rời rạc và tổ hợp. Các công cụ từ tổ hợp, xác suất và cấu trúc rời rạc của GS. Tuấn bổ sung hiệu quả cho hướng entropy và giải tích mà TS. Kỷ đang theo đuổi, giúp hai tác giả liên tục kiểm tra, loại bỏ và cải thiện các ý tưởng.
“AI không thay thế phần chứng minh toán học nhưng giúp chúng tôi biết rất nhanh một ý tưởng có đáng để tiếp tục hay không. Khi một hướng sai, việc tìm được phản ví dụ sớm có thể tiết kiệm hàng tuần làm việc; khi một cấu trúc có vẻ đúng, chúng tôi có thể tập trung vào việc hiểu vì sao nó đúng và biến nó thành một lập luận chặt chẽ”, TS. Kỷ cho biết.
Từ quá trình thử nghiệm và sàng lọc đó, một cấu trúc chứng minh dần hình thành, kết hợp các ước lượng entropy, phổ Fourier của hàm Boolean và một số bất đẳng thức sắc. Nhóm nghiên cứu từng bước mở rộng miền kiểm soát được, xử lý các trường hợp còn lại và cuối cùng đi tới chứng minh cho trường hợp tổng quát.
“Khó khăn lớn nhất là bài toán có một khoảng cách rất lớn giữa phát biểu và chứng minh. Phát biểu chỉ mất vài dòng để hiểu nhưng những phương pháp tự nhiên nhất thường chỉ giải được một miền tham số hoặc một lớp hàm đặc biệt. Có những giai đoạn chúng tôi tưởng đã gần xong rồi lại phát hiện một khoảng trống và phải quay lại gần như từ đầu. Vì vậy, nếu phải chọn một yếu tố quan trọng nhất trong quá trình này, tôi nghĩ đó vẫn là khả năng kiên trì với một bài toán sau rất nhiều lần thất bại”, TS. Kỷ phân tích.
Trong quá trình làm việc, một số cấu trúc mới dần xuất hiện, đặc biệt là sự kết hợp giữa các ước lượng entropy, phổ fourier của hàm Boolean và một số bất đẳng thức sắc. Từ những mảnh ghép đó, nhóm nghiên cứu từng bước mở rộng miền đúng của giả thuyết, xử lý các trường hợp còn lại và cuối cùng đi tới chứng minh cho trường hợp tổng quát.
Bài báo “Dictators are most informative” - Vu Khac Ky và Tuan Tran, hiện đã được đưa lên arXiv - kho lưu trữ trực tuyến dành cho các tiền ấn phẩm khoa học vào ngày 21/9/2026. Công trình chứng minh giả thuyết cho mọi hàm Boolean, bao gồm cả trường hợp không cân bằng. Nhưng con đường đi đến đó cũng có câu chuyện rất thú vị.
Trước khi bài báo được công bố, để tỏ sự tôn trọng, TS. Kỷ đã chủ động email cho Giáo sư Chandra Nair để thông báo rằng anh và Tuấn đã tìm được lời giải. GS. Nair trả lời rằng nhóm của ông, cùng các nhà khoa học từ Google và một số trường đại học khác, cũng vừa hoàn thành một chứng minh cho cùng bài toán.
Hai nhóm sau đó trao đổi và nhận ra rằng họ đã độc lập đi đến cùng một kết quả bằng hai phương pháp rất khác nhau. Bản thảo của nhóm bảy người trên thế giới dài hơn 250 trang, trong khi bài của hai nhà nghiên cứu Việt Nam chỉ khoảng 36 trang. Tuy nhiên, số trang không nói lên lời giải nào tốt hơn; mỗi cách tiếp cận đều có những điểm mạnh riêng và cần được cộng đồng toán học đánh giá theo thời gian.
Nhưng sau khi biết kết quả của nhau, vì nhóm của GS. Nair cần thêm thời gian để hoàn thiện một công trình dài chứa nhiều tính toán, TS. Kỷ và GS. Tuấn đã quyết định lùi thời điểm công bố của mình và thống nhất công bố hai lời giải độc lập trong cùng thời điểm. “Với tôi, đây cũng là một câu chuyện đẹp của nghiên cứu khoa học”, TS. Kỷ chia sẻ.
Công trình nghiên cứu của TS. Kỷ và GS. Tuấn không chỉ mang đến lời giải cho một bài toán mở lâu năm trong lý thuyết thông tin và giải tích Boolean mà còn mang ý nghĩa khác khi các công cụ xuất hiện trong chứng minh, đặc biệt các bất đẳng thức entropy và cách khai thác cấu trúc của toán tử nhiễu trên không gian Boolean, có thể còn hữu ích cho những bài toán khác. Đặc biệt, công trình này cũng cho thấy một nhóm nghiên cứu nhỏ tại Việt Nam vẫn có thể tham gia trực tiếp vào những bài toán nền tảng đang được các nhóm mạnh trên thế giới cùng quan tâm, nếu lựa chọn đúng bài toán và đủ kiên trì theo đuổi nó.
Một môi trường đủ cởi mở để thử ý tưởng mới, tôn trọng sự độc lập học thuật
Trước khi trở thành giảng viên bộ môn Toán tại FPTU, Tiến sĩ Vũ Khắc Kỷ tốt nghiệp Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội (khoa Cử nhân Tài năng) vào năm 2009, sau đó sang Đức học Thạc sĩ tại Đại học TU Kaiserslautern. Năm 2012, ông là sinh viên duy nhất ở Pháp nhận học bổng nghiên cứu Tiến sĩ của Microsoft Research, Cambridge. Sau khi tốt nghiệp tiến sĩ tại ĐH Bách Khoa Paris (Pháp), ông làm việc 2 năm tại Viện nghiên cứu ITCSC (Hong Kong) trước khi trở về nước. Ông cũng là thành viên chủ chốt của dự án Flyspeck, một trong những dự án lớn nhất của toán học hình thức, nhằm xây dựng chứng minh được máy tính kiểm chứng cho giả thuyết Kepler - bài toán tồn tại suốt gần 400 năm.
Năm 2012, Vũ Khắc Kỷ là sinh viên duy nhất ở Pháp nhận học bổng nghiên cứu Tiến sĩ của Microsoft Research, Cambridge.
Nhìn lại sự nghiệp nghiên cứu, TS. Vũ Khắc Kỷ cho biết trước công trình về giả thuyết Courtade–Kumar, một dấu mốc quan trọng với ông là thời gian làm tiến sĩ tại École Polytechnique dưới sự hướng dẫn của GS. Leo Liberti. Thay vì giới hạn nghiên cứu sinh trong một đề tài hẹp, GS. Liberti khuyến khích ông tìm hiểu những hướng mới và tiếp cận bài toán từ nhiều lĩnh vực khác nhau.
Nhờ đó, TS. Kỷ có cơ hội làm việc với nhiều chủ đề, từ tối ưu, compressed sensing đến xác suất cao chiều và lý thuyết học máy. Theo ông, trải nghiệm này dần hình thành một cách làm nghiên cứu xuyên ngành: không quá phụ thuộc vào ranh giới của từng chuyên ngành, mà tìm cách đưa công cụ và cách nhìn của lĩnh vực này sang giải quyết bài toán của lĩnh vực khác.
“Một số hướng nghiên cứu từ giai đoạn đó và những năm sau đã dẫn tới các công trình trên Forum of Mathematics, Pi, Mathematical Programming, Mathematics of Operations Research và Discrete & Computational Geometry. Nhưng điều quan trọng hơn với tôi là hình thành thói quen luôn thử nhìn một bài toán bằng nhiều ngôn ngữ toán học khác nhau. Đôi khi công cụ học được từ một lĩnh vực lại trở thành chìa khóa cho một bài toán tưởng như hoàn toàn không liên quan”, TS. Kỷ chia sẻ.
Cách hướng dẫn cởi mở, tư duy trực giác sâu sắc của GS. Liberti cũng ảnh hưởng đến cách TS. Kỷ làm việc với sinh viên tại FPTU: khuyến khích họ khám phá nhiều hướng và tự tìm những câu hỏi thực sự đáng theo đuổi, thay vì bó hẹp ngay từ đầu trong một hướng nghiên cứu cố định.
Trong giảng dạy, ông cũng coi việc giúp sinh viên nhìn thấy cấu trúc và ý tưởng phía sau một công thức quan trọng hơn việc chỉ giải được một dạng bài. Ông dạy các môn như Toán rời rạc, Đại số tuyến tính và Thuật toán và thường cố gắng để sinh viên thấy rằng toán học và khoa học máy tính không phải là những hệ thống đã hoàn tất. Vẫn còn rất nhiều câu hỏi có thể phát biểu rất đơn giản nhưng chưa ai biết lời giải.
Khi làm nghiên cứu với sinh viên, ông cũng khuyến khích sinh viên đọc rộng, thử nhiều công cụ và không quá sợ việc đi sang một lĩnh vực khác. Ông nghĩ một trong những điều quan trọng nhất mà người hướng dẫn có thể làm là tạo ra một môi trường đủ cởi mở để sinh viên dám thử những ý tưởng mới, kể cả khi phần lớn trong số đó cuối cùng không thành công. Đó cũng chính là điều ông từng nhận được từ người hướng dẫn của mình.
Các sinh viên FPTU do TS. Kỷ hướng dẫn, đã lần lượt được nhận vào học thạc sĩ hoặc tiến sĩ tại những trường đại học danh giá nhất thế giới như: Nhật Mai đã được nhận vào chương trình thạc sĩ tại Đại học Bonn (Đức), Vương Tuấn hiện đang làm Nghiên cứu sinh tại Đại học Luxembourg, Lương Chung đã được nhận vào chương trình Master tại Đại học Montreal (Canada)…
Nói thêm về môi trường làm việc hiện tại, TS. Kỷ đánh giá cao ở FPTU trong việc tôn trọng sự độc lập học thuật của giảng viên và luôn cho giảng viên một khoảng không tương đối thoải mái để lựa chọn hướng nghiên cứu. Với những bài toán cơ bản như giả thuyết Courtade–Kumar, rất khó đặt ra một kế hoạch kiểu “ba tháng phải có kết quả”, vì có thể làm rất lâu mà chưa biết hướng đi có thành công hay không. “Việc được làm việc trong một môi trường chấp nhận sự bất định đó là rất quan trọng”, ông nhấn mạnh.
Ngoài ra, TS. Kỷ cho biết ông cũng trân trọng việc FPTU không đặt áp lực công bố theo kiểu chạy số lượng hoặc buộc phải tạo ra kết quả trong một thời gian quá ngắn. Bởi nghiên cứu tốt, đặc biệt là nghiên cứu cơ bản, đôi khi cần thời gian để một ý tưởng đủ chín. Nếu tạo áp lực quá sớm, rất dễ dẫn đến những kết quả nhỏ và ngắn hạn thay vì những câu hỏi khó hơn nhưng có giá trị lâu dài.
Nhà trường cũng tạo điều kiện để ông duy trì song song giảng dạy và nghiên cứu, đồng thời khuyến khích hợp tác quốc tế. Những sự ghi nhận gần đây của Nhà trường đối với kết quả này cũng là một động lực rất lớn đối với cá nhân ông.
“Tôi nghĩ về lâu dài, điều quan trọng hơn cả một công trình cụ thể là xây dựng được một môi trường nơi giảng viên và sinh viên cảm thấy được tôn trọng, có đủ tự do để theo đuổi những câu hỏi khó và không quá sợ thất bại. Nếu từ những kết quả như thế này có thể tạo thêm niềm tin và kéo thêm các bạn trẻ vào nghiên cứu cơ bản, thì đó có lẽ là giá trị mà tôi mong muốn nhất”, TS. Vũ Khắc Kỷ gửi gắm.
